In unserem täglichen Leben beobachten wir verschiedene Arten von Bewegungen, wie die lineare Bewegung eines Autos, die Vibrationsbewegung einer Saite, die kreisförmige Bewegung einer Uhr usw. Eine der interessantesten und wesentlichsten Arten von Bewegungen ist die periodische Bewegung. Ein Körper soll sich in einer periodischen Bewegung bewegen, wenn er seinen Weg nach jedem Zeitintervall wiederholt. Ein Beispiel für eine periodische Bewegung ist die Bewegung von Uhrzeigern, die Drehung der Erde, die Bewegung eines Pendels usw. Wenn sich diese periodische Bewegung um einen festen Bezugspunkt handelt, wird sie als oszillatorische Bewegung bezeichnet. Der einfache harmonische Oszillator ist ein Sonderfall der Oszillationsbewegung.
Was ist ein einfacher harmonischer Oszillator?
Ein Oszillator, der die einfache harmonische Bewegung ausführt, wird als einfacher harmonischer Oszillator bezeichnet. Die periodische Hin- und Herbewegung von Partikeln zu einem festen Mittelwert wird als Schwingungsbewegung bezeichnet. Es wird mit der Formel F = -kx bezeichnetnwobei n eine ungerade Zahl ist, die die Anzahl der Schwingungen bezeichnet. Wenn der Wert von n = 1 ist, wird die Oszillationsbewegung als einfache harmonische Bewegung bezeichnet.
Der einfache harmonische Oszillator besteht aus einer horizontal angeordneten Feder, deren ein Ende an einem festen Punkt und das andere Ende an einem sich bewegenden Objekt der Masse m befestigt ist. Die Position der Masse im Gleichgewicht wird als mittlere Position bezeichnet. Wenn die Masse parallel zur Federachse gezogen wird, bewegt sie sich um die mittlere Position hin und her. Eine der Verschiebungsrichtung entgegengesetzte Rückstellkraft wirkt auf die Masse, die sie in Richtung der mittleren Position zieht. Dieses Gerät ist jetzt als einfacher harmonischer Oszillator bekannt.
S.Harmonischen Oszillator implementierenGleichung
Bei einer einfachen harmonischen Bewegung ist die Rückstellkraft direkt proportional zur Verschiebung der Masse und wirkt in die der Verschiebungsrichtung entgegengesetzte Richtung, wodurch die Partikel in Richtung der mittleren Position gezogen werden.
Nach dem Newtonschen Gesetz ist die auf die Masse m wirkende Kraft gegeben durch F = -kxn. Hier ist k die Konstante und x bezeichnet die Verschiebung des Objekts von der mittleren Position. Die Verschiebung ist proportional zur Beschleunigung der Masse um die mittlere Position. Bei einer einfachen harmonischen Bewegung ist der Wert von n = 1.
Da die Beschleunigung proportional zur Verschiebung ist, a = dzweix / dt zwei. Ersetzen Sie die Werte in der Newtonschen Gleichung.
So, F = ma , F = -kx.
Deshalb, -kx = ma - (1)
-kx = m (dzweix / dtzwei)
Durch Neuanordnung, -kx / m = (dzweix / dtzwei).--(zwei)
Die Funktion, deren zweite Ableitung selbst ein negatives Vorzeichen hat, ist die einfache harmonische Oszillatorlösung für die obige Gleichung. Sinus- und Cosinusfunktionen erfüllen diese Anforderung.
f (x) = sin x, (dzweix / dtzwei) (f (x)) = -sin x
f (x) = cos x, (dzweix / dtzwei) (f (x)) = -cos x
Der Einfachheit halber wird sin (Φ) gewählt. Der Phasenwinkel beschreibt die Verschiebungspositionen der Masse vom Mittelwert. In der mittleren Position ist Φ = 0. Wenn sich die Masse in Vorwärtsrichtung bewegt und den Maximalpunkt erreicht, ist Φ = π / 2. Wenn die Masse nach der maximalen Vorwärtsposition wieder zur mittleren Bewegung zurückkehrt, ist Φ = π. Wenn sich die Masse in einer Rückwärtsposition bewegt und einen Maximalpunkt erreicht, ist Φ = 3π / 2, und wenn sie sich jetzt in die mittlere Position bewegt, ist Φ = 2π.
Die von der Masse benötigte Zeit, um einen vollständigen Hin- und Her-Zyklus abzuschließen, wird als mit T bezeichnete Periode bezeichnet. Die Anzahl solcher Schwingungen, die pro Zeiteinheit auftreten, wird als Schwingungsfrequenz f bezeichnet. A bezeichnet die Extream-Positionen des Objekts und wird auch als Amplitude bezeichnet. Somit ist die Verschiebung der einfachen harmonischen Bewegung eine algebraische Sinusfunktion, die als gegeben ist
x = A sin ωt - (3)
Wobei ω die als Φ / t abgeleitete Winkelfrequenz ist. Aus Gleichung (2)
-kx / m = (dzweix / dtzwei). ω = 2πf, T = 1 / f
x = A sin (2πft + Φ), ersetze in (2)
-k (A sin (2πft + Φ) / m = -4πzweifzweiAsin (2πft + Φ)
Durch Lösen, f = (1 / 2π) √ (k / m)
ω = √ (k / m)
Somit ist x = Asin√ (k / m) t die Gleichung eines einfachen harmonischen Oszillators.
Einfache harmonische Bewegungsgraphen
Bei einem einfachen harmonischen Oszillator ist die auf die Feder wirkende Rückstellkraft immer entgegengesetzt zur Verschiebung der Masse gerichtet. Wenn sich die Masse in Richtung der positiven Extream-Position + A bewegt, sind Beschleunigung und Kraft negativ und maximal. Wenn sich das Objekt von der Position + A in Richtung der mittleren Position bewegt, nimmt die Geschwindigkeit zu, während die Beschleunigung an der mittleren Position Null ist.
Einfache harmonische Bewegung.
Die Geschwindigkeit und Geschwindigkeit des einfachen harmonischen Oszillators kann aus dem Obigen abgeleitet werden einfache harmonische Oszillatorwellenform . Die Verschiebung des Objekts ist gegeben durch x = Asinωt = Asin√ (k / m) t. Die Geschwindigkeit ist gegeben als V = ωA cos ωt. Die Beschleunigung wird als = -ω angegebenzweix. Die Periode wird als T = 1 / f angegeben, wobei f die als ω / 2π angegebene Frequenz ist, wobei ω = √ (k / m).
Die Kraft, die an der mittleren Position auf die Masse wirkt, ist 0 und ihre Beschleunigung ist ebenfalls 0. In einem einfachen harmonischen Oszillator ist die Beschleunigung proportional zur Verschiebung. Das Vorzeichen der Kraft hängt von der Verschiebungsrichtung des Objekts von der mittleren Position ab.
Einfache harmonische Oszillatoranwendungen
Simple Harmonic Oscillator ist ein Federmassensystem. Es wird in Clocks als Oszillator, in Gitarre, Violine angewendet. Es ist auch im Auto-Stoßdämpfer zu sehen, bei dem Federn am Autorad angebracht sind, um eine ruhigere Fahrt zu gewährleisten. Das Metronom ist auch ein einfacher harmonischer Oszillator, der kontinuierliche Ticks erzeugt, die dem Musiker helfen, ein Stück mit konstanter Geschwindigkeit zu spielen.
Eine einfache harmonische Bewegung fällt unter die Kategorie der oszillierenden Bewegung der periodischen Bewegung. Alle Schwingungsbewegungen sind periodischer Natur, aber nicht alle periodischen Bewegungen sind Schwingungsbewegungen. Die Rückstellkraft in einem einfachen harmonischen Oszillator gehorcht Hookesches Gesetz.
Eine einfache harmonische Bewegung hängt von der Steifheit der Rückstellkraft und der Masse des Objekts ab. Ein einfacher harmonischer Oszillator mit großer Masse schwingt mit weniger Frequenz. Das Oszillator mit hoher Rückstellkraft schwingt mit hoher Frequenz. Die Verschiebungs-, Geschwindigkeits-, Amplituden- und Kraftparameter des einfachen harmonischen Oszillators werden immer aus der mittleren Position der Feder berechnet. Frequenz und Periode der Schwingungen werden von der Amplitude nicht beeinflusst. Was sind die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Objekts, wenn sich die Feder in ihrer mittleren Position befindet?
