Der Name der Chebyshev-Filter wird nach „Pafnufy Chebyshev“ bezeichnet, da seine mathematischen Eigenschaften nur von seinem Namen abgeleitet sind. Chebyshev-Filter sind nichts anderes als analoge oder digitale Filter. Diese Filter haben ein steileres Abroll- und Typ-1-Filter (mehr Durchlassbandwelligkeit) oder ein Typ-2-Filter (Stoppbandwelligkeit) als Butterworth-Filter . Die Eigenschaft dieses Filters ist, dass es den Fehler zwischen der Charakteristik des tatsächlichen und des idealisierten Filters verringert. Denn inhärent der Durchlassbandwelligkeit in diesem Filter.
Chebyshev Filter
Chebyshev-Filter werden für unterschiedliche Frequenzen eines Bandes von einem anderen verwendet. Sie können nicht mit der Leistung des Windows-Sink-Filters mithalten und sind für viele Anwendungen geeignet. Das Hauptmerkmal des Chebyshev-Filters ist seine Geschwindigkeit, normalerweise schneller als die des Fensters. Weil diese Filter eher durch Rekursion als durch Faltung ausgeführt werden. Das Design der Chebyshev- und Windowed-Sinc-Filter hängt von einer mathematischen Technik ab, die als Z-Transformation bezeichnet wird.
Chebyshev Filter
Arten von Chebyshev-Filtern
Chebyshev-Filter werden in zwei Typen eingeteilt, nämlich Chebyshev-Filter vom Typ I und Chebyshev-Filter vom Typ II.
Chebyshev-Filter vom Typ I.
Dieser Filtertyp ist der Grundtyp des Chebyshev-Filters. Die Amplitude oder die Verstärkungsantwort ist eine Winkelfrequenzfunktion der n-ten Ordnung des LPF (Tiefpassfilter), die gleich dem Gesamtwert der Übertragungsfunktion Hn (jw) ist.
Gn (w) = | Hn (jω) | = 1√ (1 + ϵ2Tn2 () ω / ωo)
Wobei ε = Welligkeitsfaktor
ωo = Grenzfrequenz
Tn = Chebyshev-Polynom n-ter Ordnung
Das Durchlassband zeigt die Equiripple-Leistung. In diesem Band wechselt der Filter zwischen -1 und 1, so dass die Verstärkung des Filters zwischen max bei G = 1 und min bei G = 1 / √ (1 + ε2) wechselt. Bei der Grenzfrequenz hat die Verstärkung den Wert 1 / √ (1 + ε2) und bleibt mit zunehmender Frequenz im Stoppband ausfallen. Das Verhalten des Filters ist unten dargestellt. Die Grenzfrequenz bei -3 dB wird im Allgemeinen nicht auf Chebyshev-Filter angewendet.
Chebyshev-Filter Typ I.
Die Reihenfolge dieses Filters ist ähnlich der Nr. von reaktiven Komponenten, die für den Chebyshev-Filter benötigt werden analoge Geräte. Die Welligkeit in dB beträgt 20 log10 √ (1 + ε2). Damit ergibt sich die Amplitude einer Welligkeit eines 3db aus ε = 1. Ein noch steilerer Abfall kann gefunden werden, wenn im Stoppband eine Welligkeit zulässig ist, indem Nullen auf der jw-Achse in der komplexen Ebene zugelassen werden. Dieser Effekt führt jedoch zu einer geringeren Unterdrückung im Stoppband. Der Effekt wird als Cauer- oder Ellipsenfilter bezeichnet.
Pole und Nullen des Chebyshev-Filters vom Typ I.
Die Pole und Nullen des Chebyshev-Filters vom Typ 1 werden unten diskutiert. Die Pole des Chebyshev-Filters können durch die Verstärkung des Filters bestimmt werden.
-js = cos (θ) & die Definition der Trigonometrie des Filters kann wie folgt geschrieben werden
Hier kann θ gelöst werden durch
Wo die vielen Werte der Bogenkosinusfunktion anhand des Zahlenindex m deutlich geworden sind. Dann sind die Chebyshev-Verstärkungspolfunktionen
Unter Verwendung der Eigenschaften von hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen kann dies in der folgenden Form geschrieben werden
Die obige Gleichung erzeugt die Pole der Verstärkung G. Für jeden Pol gibt es das komplexe Konjugat, und für jedes Konjugatpaar gibt es zwei weitere Negative des Paares. Der TF sollte stabil sein. Die Übertragungsfunktion (TF) ist gegeben durch
Chebyshev-Filter Typ II
Der Typ II Chebyshev Filter wird auch als inverser Filter bezeichnet, dieser Filtertyp ist weniger verbreitet. Weil es nicht abrollt und benötigt verschiedene Komponenten . Es hat keine Welligkeit im Durchlassbereich, aber es hat eine Welligkeit im Sperrbereich. Die Verstärkung des Chebyshev-Filters vom Typ II beträgt
Im Stoppband wechselt das Chebyshev-Polynom zwischen -1 & und 1, so dass die Verstärkung „G“ zwischen Null und 1 wechselt
Chebyshev-Filter Typ II
Die kleinste Frequenz, bei der dieses Maximum erreicht wird, ist die Grenzfrequenz
Für eine Stoppbanddämpfung von 5 dB beträgt der Wert von & epsi; 0,6801 und für eine Stoppbanddämpfung von 10 dB beträgt der Wert von & epsi; 0,3333. Die Grenzfrequenz ist f0 = ω0 / 2π0 und die 3dB-Frequenz fH wird abgeleitet als
Pole und Nullen des Chebyshev-Filters vom Typ II
Pole und Nullen des Chebyshev-Filters vom Typ IIAngenommen, die Grenzfrequenz ist gleich 1, die Pole des Filters sind die Nullen des Nenners der Verstärkung
Die Pole der Verstärkung des Filters vom Typ II sind das Gegenteil der Pole des Chebyshev-Filters vom Typ I.
Hier in der obigen Gleichung ist m = 1, 2,…, n. Die Nullen des Filters vom Typ II sind die Nullen des Zählers der Verstärkung
Die Nullen des Chebyshev-Filters vom Typ II sind den Nullen des Chebyshev-Polynoms entgegengesetzt.
Hier ist m = 1,2,3, ……… n
Bei Verwendung einer linken Halbebene erhält der TF die Verstärkungsfunktion und weist ähnliche Nullen auf, die eher einzelne als doppelte Nullen sind.
Hier geht es also um Chebyshev-Filter, Arten von Chebyshev-Filtern, Pole und Nullen des Chebyshev-Filters und die Berechnung der Übertragungsfunktion. Wir hoffen, dass Sie ein besseres Verständnis für dieses Konzept haben, außerdem alle Fragen zu diesem Thema oder Elektronikprojekte Bitte geben Sie Ihr Feedback, indem Sie im Kommentarbereich unten einen Kommentar abgeben. Hier ist eine Frage für Sie, was sind die Anwendungen von Chebyshev-Filtern?
